国际合作

       近日，由数学与统计学院主办的2026年暑期国际讲堂《流体力学中的演化微分方程导论》圆满完成授课任务。本次课程由俄罗斯莫斯科国立大学Alexey Gorshkov副教授主讲，面向相关专业本科生和研究生，围绕流体力学中的典型演化方程、分析工具与计算方法展开，帮助同学们在理论推导、模型理解和数值验证之间建立更加完整的知识联系。

       Alexey Gorshkov教授从经典偏微分方程出发，以清晰的板书推导和层层递进的例题组织课堂。课程既强调概念产生的物理背景，也重视定理、公式与计算步骤之间的逻辑衔接；在关键环节设置讨论和练习，引导同学们主动提出问题、比较不同方法，并尝试用严格的数学语言解释模型所反映的规律。

       课程首先以热方程和Burgers方程等典型演化方程为切入点，讨论有界与无界区域上的基本问题。通过Fourier变换、卷积表示、高斯热核以及Hopf-Cole变换，同学们理解了Cauchy问题的解结构，认识到扩散、对流与非线性效应如何共同影响流体状态的演化；一维模型和误差函数等实例，则把抽象公式转化为可以直接计算和分析的对象。

       在此基础上，课程进一步引入微分形式、闭形式与恰当形式，讨论外微分及其几何意义，并以Stokes公式统一联系线积分、面积分、散度定理和经典积分公式。围绕微分形式上的Laplace算子，课堂进一步介绍Hodge星算子、余微分等相关结构，展示局部微分性质与整体几何特征之间的联系。通过比较经典向量分析与微分形式语言，同学们逐渐理解外微分满足的结构关系，以及边界积分如何由区域内部的微分信息所决定，从而看到同一套数学语言如何贯通微分方程、几何分析和物理守恒律。

       广义函数与弱导数是本次课程的另一项重要内容。通过Dirac分布、Heaviside函数和分布意义下的微分，Alexey Gorshkov教授说明了如何在统一框架中处理点源、跳跃和不光滑函数。从测试函数及其对偶作用出发，课堂梳理了分布的定义和分布导数的运算规则，并由此引出弱导数、Sobolev空间与弱解思想，为理解更一般的偏微分方程奠定基础。这一部分使同学们认识到，数学物理中的“解”不必局限于处处光滑的经典函数，恰当扩大函数空间往往能够保留方程的核心结构，并为存在性分析提供新的思路。课程还把解析理论与数值计算紧密结合。以热方程的有限差分方法为例，教授从Taylor展开推导时间与空间离散格式，说明截断误差的来源，并围绕一致性、稳定性和收敛性讨论计算结果的可信程度。通过比较不同时间步长和网格尺度下的简单算例，同学们直观看到误差的累积与传播过程，也认识到程序能够运行并不等于结果可靠，理论条件会直接影响参数设置和算法选择。由连续模型到离散方程、再由理论判断到结果解释，课程呈现了数值模拟的基本工作链条，进一步强化了数学分析与科学计算之间的双向联系。

       授课过程中，Alexey Gorshkov教授及时回应同学们的问题，反复解释关键概念，并将公式推导与板书演算、课堂练习相结合。随着课程推进，同学们不仅深化了对热方程、Burgers方程、微分形式和广义函数等内容的理解，也提升了阅读英文数学材料、跟随严格证明以及分析数值结果的能力，对数学物理方法的统一性和实际价值有了更加清晰的认识。课堂中的持续交流也让抽象概念不再停留于符号层面：同学们在推导中核对条件，在例题中检验结论，在讨论中辨析不同表述，从而逐步形成更加严谨的学习习惯。

       课程结束时，都琳教授对本次课程进行了总结与回顾，并对Alexey Gorshkov教授的精心准备和精彩授课表示感谢。她指出，本次课程从基础理论延伸到数值方法，内容系统、衔接紧密，为同学们理解流体力学中的演化方程、提升分析与计算能力提供了有益帮助。本次国际讲堂拓展了学生的学术视野，夯实了偏微分方程、微分几何和数值分析等方面的基础，也为今后开展相关课程学习与科研实践提供了方法上的启发。通过外籍专家的系统讲授，同学们接触了不同的学术表达方式，增强了以开放视野理解前沿数学问题的意识。课程的顺利举办得到了学校国际合作处和数学与统计学院的支持。

图文：都琳 刘剑飞

审核：张莹