国际合作

       2024年7月4日至12日，数学与统计学院主办的暑期国际讲堂《数学物理问题中的稳定性分析及制》顺利结束。受都琳教授邀请，莫斯科国立大学的Alexey Gorshkov副教授对学院进行了为期两周的访问，期间为我校的本科生与研究生带来了此次课程。

       主讲教师Alexey Gorshkov副教授任职于俄罗斯莫斯科国立大学数学力学系，其主要研究方向为流体力学，包含但不限于Navier-Stokes方程在无穷域中的稳定性问题、障碍扰流问题、大气动力学问题。研究方法涉及了稳定性分析、有限维和无穷维系统中的控制理论。承担了包括数学物理方程、最优控制及稳定性分析、变分法在内的多门课程的教学任务。

       本课程旨在通过对力学物理问题进行数学意义上的抽象，将问题限制在了具有一定性质的数学逼近空间上，从而对这类数学物理问题的可控性进行分析，通过引入控制函数的存在原理和构造方法，实现对数学物理中稳定控制问题的有效处理。

       Alexey Gorshkov副教授首先回顾了有限维微分动力系统中的基本结论，从线性问题的通解出发，给出了有限维非线性系统的一般形式解。进一步的，以线性控制方法为例，引入了状态空间上的可控性概念的数学定义及其对应的直觉图像。通过定义指数稳定条件，将数学上的极限行为，转化为了可以被有限精度观测量表示的，有限时间内的稳定控制问题。借助Hamilton-Cayley定理实现高指数矩阵的低指数表示，构造了一组有限维空间中的完备基函数，通过严格的数学证明，给出了可控条件与控制函数的构建方法。

       由于一般的数学物理问题不仅仅由常微分方程表示，当涉及不同因素的共同作用时，往往需要考虑时间和空间的耦合行为。基于这种事实，Alexey Gorshkov副教授引入了以无穷维控制为手段的偏微分方程问题，首先以泛函分析中微分算子的连续谱和点谱为基本研究对象，通过构建Resolvent函数将无穷维控制函数的分析问题转化为算子在目标基函数下对应点谱的转化问题。通过引入近似可控的数学概念，利用可数基函数在L2空间中的稠密性，将近似可控性问题转化为可控路径与状态空间的几何关系问题，证明了近似可控性条件，给出了控制函数构造方法。

       由于本课程体量大，涉及多门高等数学学科内容，同时需要兼顾实践技巧，给学生的学习带来了极大的挑战，为了克服这类难题，Alexey Gorshkov副教授讲求追本溯源的授课方法。在授课过程中，不断的与学生交流，以学生的反馈及时修正课堂内容，当学生对任意数学概念表示疑惑时，逐步的将广义概念初等化、特殊化，以简单的例子让学生抓住本质的处理方法。在最后的课程中，Alexey Gorshkov副教授以热传导方程为例，从理论推导到程序编写，带领大家在完成严格的数学证明后，逐步的实践控制理论，体会证明与应用的关联性。

       最后，课程结束时，都琳教授对为期两周的课程，进行了总结与回顾，并对Alexey Gorshkov副教授表示感谢。通过本次暑期课程，让同学们对数学物理方程和稳定控制问题的应用场景有了初步的了解，增强了数学建模的能力，深刻体会了利用数学方法解决实际问题的基本流程。

       本课程得到了我校国际合作处和数学与统计学院的支持。

图文：妙宇辰

审核：都琳